Дан прямоугольник ABCD. Точка A – центр гомотетии с коэффициентом k = 1/2. Постройте прямоугольник, гомотетичный данному, и найдите отношение площади первого прямоугольника к площади второго.

Пусть дан прямоугольник ABCD. Точка A является центром гомотетии, а коэффициент гомотетии k = 1/2. Это означает, что новый прямоугольник A'B'C'D' будет в два раза меньше исходного прямоугольника ABCD.

Чтобы построить прямоугольник A'B'C'D', гомотетичный прямоугольнику ABCD с центром в точке A и коэффициентом k = 1/2, нужно:

1. Найти середины сторон AB и AD. Обозначим эти точки B' и D' соответственно.
2. Провести прямые AC и BD. Найти середины этих отрезков. Обозначим эти точки C' и соответственно.
3. Соединить точки A, B', C' и D'. Полученный прямоугольник A'B'C'D' будет гомотетичен исходному прямоугольнику ABCD.

Теперь найдем отношение площади первого прямоугольника к площади второго. Пусть стороны прямоугольника ABCD равны a и b. Тогда площадь прямоугольника ABCD равна S₁ = a * b.

Стороны прямоугольника A'B'C'D' будут равны a/2 и b/2, так как коэффициент гомотетии k = 1/2. Тогда площадь прямоугольника A'B'C'D' равна S₂ = (a/2) * (b/2) = a*b/4.

Отношение площади первого прямоугольника к площади второго будет:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a \cdot b}{\frac{a \cdot b}{4}} = 4$$

Ответ: Отношение площади первого прямоугольника к площади второго равно 4.