Дан прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, высота CH = 6 см, AH − HB = 5 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Обозначим \(AH=x\), \(HB=y\). Для высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, \(CH^2=AH\cdot HB\), поэтому \(xy=36\). Также дано \(x-y=5\).

Тогда \((x+y)^2=(x-y)^2+4xy=25+144=169\), откуда \(AB=x+y=13\) см.

Площадь через гипотенузу и высоту к ней: \(S=\frac12 AB\cdot CH=\frac12\cdot13\cdot6=39\) см².

Ответ: 39 см².