Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, у которого BC = 8 см, ∠A : ∠B = 1 : 4. Найдите площадь треугольника ABC.

Так как основание — AC, равные боковые стороны AB и BC, следовательно, \(AB=BC=8\) см и углы при основании равны: \(\angle A=\angle C\).

Пусть \(\angle A=x\), тогда \(\angle B=4x\). Из суммы углов треугольника: \(x+4x+x=180^\circ\), откуда \(x=30^\circ\), а \(\angle B=120^\circ\).

Площадь по двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac12\cdot8\cdot8\cdot\sin120^\circ=16\sqrt3\) см².

Ответ: \(16\sqrt3\) см².