5. Дан равносторонний треуголь- ник АВС со стороной 6, в вер- шине А восстановлен перпенди- куляр АМ, равный √22. Най- дите расстояние от точки М до прямой ВС

Дано: ABC - равносторонний треугольник, AB = BC = CA = 6, AM ⊥ (ABC), AM = √22.

Найти: Расстояние от точки M до прямой BC.

Решение:

Пусть D - середина BC. Тогда AD - медиана, высота и биссектриса треугольника ABC.

AD = (AB * √3) / 2 = (6 * √3) / 2 = 3√3

Так как AM ⊥ (ABC), то AM ⊥ AD и AM ⊥ BC.

Тогда MD - искомое расстояние от точки M до прямой BC, а MD ⊥ BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMD (∠MAD = 90°).

По теореме Пифагора:

MD² = AM² + AD² = (√22)² + (3√3)² = 22 + 27 = 49

MD = √49 = 7

Ответ: 7