3. Точки М и К - ортогональные проекции точек А и В на плос- кость α. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью а, если AB = 8, AM = 17, BK = 13.

Точки M и K - ортогональные проекции точек A и B на плоскость α.

Дано: AB = 8, AM = 17, BK = 13.

Найти: угол между прямой AB и плоскостью α.

Решение:

Опустим из точки A перпендикуляр AM на плоскость α, а из точки B - перпендикуляр BK на плоскость α. Получим прямоугольную трапецию AMKB (или прямоугольник, если AM = BK).

Проведем отрезок AE параллельно MK, где E лежит на BK. Тогда AE = MK и BE = |AM - BK|.

В прямоугольном треугольнике AEB:

AE² + BE² = AB²

BE = |AM - BK| = |17 - 13| = 4

AE = √(AB² - BE²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3

sin(∠ABK) = AE/AB = (4√3) / 8 = √3 / 2

∠ABK = arcsin(√3 / 2) = 60°

Следовательно, угол между прямой AB и плоскостью α равен 60°.

Ответ: 60°