5. Дан равносторонний треугольник. В нём выбирают случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри окружности, вписанной в этот треугольник?

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $$a$$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$$S_{тр} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен:

$$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

Площадь вписанной окружности:

$$S_{окр} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{a \sqrt{3}}{6} \right)^2 = \pi \frac{3a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$$

Вероятность того, что точка окажется внутри окружности, равна отношению площади окружности к площади треугольника:

$$P = \frac{S_{окр}}{S_{тр}} = \frac{\frac{\pi a^2}{12}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{\pi a^2}{12} \cdot \frac{4}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{4 \pi a^2}{12 a^2 \sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{9}$$

Ответ: $$\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$$