5. Дан равносторонний треугольник. В нём выбирают случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри окружности, вписанной в этот треугольник?

Площадь равностороннего треугольника: $$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Площадь вписанной окружности: $$S_{окр} = \pi r^2 = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{6})^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$$

Вероятность попадания точки внутрь окружности: $$P = \frac{S_{окр}}{S_{\triangle}} = \frac{\frac{\pi a^2}{12}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{\pi a^2}{12} \cdot \frac{4}{a^2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{9} \approx 0,6046$$

Ответ: $$\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$$