4. Дан треугольник АВС, где угол C равен 90°. Внешний угол при вершине В равен 150°, сторона АС равна 10 см. Чему равна длина гипотенузы?

4. В прямоугольном \(\triangle ABC\) \(\angle C = 90^\circ\), внешний угол при вершине B равен 150°, AC = 10 см. Найти гипотенузу AB.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Тогда внешний угол при вершине B равен \(\angle A + \angle C = 150^\circ\). Так как \(\angle C = 90^\circ\), то \(\angle A = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ\).

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \(\sin A = \frac{BC}{AB}\), \(\cos A = \frac{AC}{AB}\), \(\tan A = \frac{BC}{AC}\), \(\cot A = \frac{AC}{BC}\).

Тогда \(\sin A = \frac{AC}{AB}\), следовательно, \(AB = \frac{AC}{\sin A} = \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\) см.

Ответ: \(AB = \frac{20\sqrt{3}}{3}\) см