Самостоятельная работа «Признаки равенства прямоугольных треугольников» 2 вариант. 1. Даны два прямоугольных треугольника ДАВС, ДАДС (рис1). АС-биссектриса, ВАС = 35°. Доказать: ДABC = AADC. Найти BCD.

1. Даны два прямоугольных треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\), где AC - биссектриса угла \(\angle BAD\), \(\angle BAC = 35^\circ\). Требуется доказать, что \(\triangle ABC = \triangle ADC\) и найти \(\angle BCD\).

Так как AC - биссектриса угла \(\angle BAD\), то \(\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ\). AC - общая сторона для \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\). Так как \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) прямоугольные, то \(\angle ACB = \angle ACD = 90^\circ\). Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle ADC\) по катету и прилежащему острому углу (AC - общий катет, \(\angle BAC = \angle DAC\)).

Из равенства треугольников следует, что \(\angle ABC = \angle ADC\). Так как \(\triangle ABC\) прямоугольный, то \(\angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). Следовательно, \(\angle ADC = 55^\circ\).

Теперь найдем \(\angle BCD\). Так как \(\triangle ABC = \triangle ADC\), то \(BC = DC\). Следовательно, \(\triangle BCD\) равнобедренный, и \(\angle CBD = \angle CDB\). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(\angle BCD = 180^\circ - (\angle CBD + \angle CDB)\). Так как \(\angle CBD = \angle CDB\), то \(\angle BCD = 180^\circ - 2 \cdot \angle CBD\).

Угол \(\angle CBD\) равен углу \(\angle ABC\) минус угол \(\angle ABD\). Так как \(\angle ABC = 55^\circ\), то \(\angle CBD = 55^\circ - \angle ABD\). Угол \(\angle ABD\) можно найти из \(\triangle ABD\). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(\angle ABD = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ADB)\). Угол \(\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ\), а угол \(\angle ADB = \angle ADC = 55^\circ\). Следовательно, \(\angle ABD = 180^\circ - (70^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\).

Тогда \(\angle CBD = 55^\circ - 55^\circ = 0^\circ\). Это означает, что точки B, C и D лежат на одной прямой, и \(\angle BCD = 0^\circ\).

Ответ: \(\angle BCD = 0^\circ\)