2) Дан треугольник АВС, Мє АС, К є BC, CM: МА = СК : КВ = 2 : 3. Через прямую АВ проходит плоскость а, не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. а) Докажите, что МК || а. б) Найдите длину отрезка МК, если АВ = 20 см.

а) Докажем, что MK || α.

Так как CM : MA = 2 : 3 и CK : KB = 2 : 3, то по теореме Фалеса MK || AB.

По условию, через прямую AB проходит плоскость α. Значит, AB лежит в плоскости α. Поскольку MK || AB и AB лежит в плоскости α, то MK || α.

б) Найдем длину отрезка MK, если AB = 20 см.

Так как CM : MA = 2 : 3, то CM / AC = 2 / (2 + 3) = 2 / 5.

Так как CK : KB = 2 : 3, то CK / BC = 2 / (2 + 3) = 2 / 5.

Значит, CM / AC = CK / BC = 2 / 5. Следовательно, треугольники CMK и CAB подобны по двум сторонам и углу между ними (угол C общий).

Тогда MK / AB = CM / AC = 2 / 5.

MK = (2 / 5) * AB = (2 / 5) * 20 = 8 см.

Ответ: а) доказано, б) MK = 8 см.