2) Дан треугольник АВС, Мє АС, Кє ВС, CM : МА = СК : КВ = 2 : 3. Через прямую АВ проходит плоскость а, не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. а) Докажите, что МК || а. б) Найдите длину отрезка МК, если АВ = 20 см.

а) Докажем, что МК || α.

Т.к. плоскость α проходит через прямую АВ, то прямая АВ лежит в плоскости α.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию CM : МА = СК : КВ = 2 : 3. Значит, прямая МК параллельна прямой АВ (по теореме о пропорциональных отрезках). Следовательно, МК || АВ.

Т.к. МК || АВ, а АВ лежит в плоскости α, то МК || α.

б) Найдем длину отрезка МК, если АВ = 20 см.

Т.к. МК || АВ, то треугольники CMK и CAB подобны.

Найдем коэффициент подобия:

$$k = \frac{CM}{CA} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$$

Тогда:

$$MK = k \cdot AB = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8$$

Ответ: а) доказано, б) 8 см.