3) Дана арифметическая прогрессия с ненулевой разностью, где а8 = 60. Известно, что А1, 27, 25 составляют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Пошаговое решение:

Для арифметической прогрессии: \( a_8 = a_1 + 7d = 60 \), где d - разность арифметической прогрессии.

Выразим \( a_1 \) через \( a_8 \): \( a_1 = 60 - 7d \).

Также дано, что \( a_1, a_7, a_{25} \) - геометрическая прогрессия. Тогда \( a_7 = a_1 + 6d \) и \( a_{25} = a_1 + 24d \).

Знаменатель геометрической прогрессии q равен отношению соседних членов: \( q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{a_{25}}{a_7} \).

Следовательно, \( a_7^2 = a_1 \cdot a_{25} \).

Подставим выражения для \( a_1, a_7, a_{25} \) через d:

\[ (a_1 + 6d)^2 = a_1(a_1 + 24d) \]

\[ (60 - 7d + 6d)^2 = (60 - 7d)(60 - 7d + 24d) \]

\[ (60 - d)^2 = (60 - 7d)(60 + 17d) \]

\[ 3600 - 120d + d^2 = 3600 + 1020d - 420d - 119d^2 \]

\[ 120d^2 - 720d = 0 \]

\[ 120d(d - 6) = 0 \]

Так как разность ненулевая, то \( d = 6 \).

Тогда \( a_1 = 60 - 7 \cdot 6 = 60 - 42 = 18 \).

Теперь найдем \( a_7 = 18 + 6 \cdot 6 = 18 + 36 = 54 \).

Знаменатель геометрической прогрессии: \( q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{54}{18} = 3 \).

Ответ: 3