6) Первый член возрастающая арифметической прогрессии равен 0, 2. Найдите разность прогрессии, если известно, что при делении каждого её члена на номер этого члена, получается геометрическая прогрессия и число членов прогрессии больше трёх.

Пошаговое решение:

Пусть арифметическая прогрессия \( a_n = a_1 + (n-1)d \), где \( a_1 = 0.2 \).

При делении каждого члена на его номер получаем геометрическую прогрессию:

\[ b_n = \frac{a_n}{n} = \frac{0.2 + (n-1)d}{n} \]

Тогда \( b_1 = \frac{a_1}{1} = 0.2 \), \( b_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{0.2 + d}{2} \), \( b_3 = \frac{a_3}{3} = \frac{0.2 + 2d}{3} \), \( b_4 = \frac{a_4}{4} = \frac{0.2 + 3d}{4} \).

Для геометрической прогрессии выполняется условие \( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \):

\[ (\frac{0.2+d}{2})^2 = 0.2 \cdot \frac{0.2+2d}{3} \]

\[ \frac{(0.2+d)^2}{4} = \frac{0.2(0.2+2d)}{3} \]

\[ 3(0.04 + 0.4d + d^2) = 0.8(0.2 + 2d) \]

\[ 0.12 + 1.2d + 3d^2 = 0.16 + 1.6d \]

\[ 3d^2 - 0.4d - 0.04 = 0 \]

\[ D = (-0.4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-0.04) = 0.16 + 0.48 = 0.64 \]

\[ d = \frac{0.4 \pm \sqrt{0.64}}{6} = \frac{0.4 \pm 0.8}{6} \]

\[ d_1 = \frac{0.4 + 0.8}{6} = \frac{1.2}{6} = 0.2 \]

\[ d_2 = \frac{0.4 - 0.8}{6} = \frac{-0.4}{6} = -\frac{1}{15} \]

Так как прогрессия возрастающая, то \( d > 0 \). Значит, \( d = 0.2 \).

Если \( d = 0.2 \), то арифметическая прогрессия: 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, ...

При делении на номер члена получаем: 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, ... - геометрическая прогрессия со знаменателем 1.

Ответ: 0.2