5) Между числом 3 и неизвестным числом Х поставили ещё одно число, так что все три числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию, если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия. Найдите неизвестное число Х.

Пошаговое решение:

Пусть три числа: 3, a, X - арифметическая прогрессия. Тогда \( a = \frac{3+X}{2} \). Разность арифметической прогрессии \( d = a - 3 = X - a \).

После уменьшения среднего члена на 6, получаем геометрическую прогрессию: 3, a-6, X. Тогда выполняется условие:

\[ \frac{a-6}{3} = \frac{X}{a-6} \]

\[ (a-6)^2 = 3X \]

Подставим \( a = \frac{3+X}{2} \):

\[ (\frac{3+X}{2} - 6)^2 = 3X \]

\[ (\frac{3+X-12}{2})^2 = 3X \]

\[ (\frac{X-9}{2})^2 = 3X \]

\[ \frac{(X-9)^2}{4} = 3X \]

\[ X^2 - 18X + 81 = 12X \]

\[ X^2 - 30X + 81 = 0 \]

\[ D = (-30)^2 - 4 \cdot 81 = 900 - 324 = 576 \]

\[ X = \frac{30 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{30 \pm 24}{2} \]

\[ X_1 = \frac{30 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27 \]

\[ X_2 = \frac{30 - 24}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Так как требуется возрастающая арифметическая прогрессия, то X должен быть больше 3.

Если X = 27, то a = (3+27)/2 = 15. Арифметическая прогрессия: 3, 15, 27. Разность: 12. Уменьшаем средний член: 3, 9, 27. Геометрическая прогрессия со знаменателем 3.

Если X = 3, то a = (3+3)/2 = 3. Арифметическая прогрессия: 3, 3, 3. Разность: 0. Уменьшаем средний член: 3, -3, 3. Это не геометрическая прогрессия.

Ответ: 27