6. Дана правильная четырёхугольная призма $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$A_1$$, $$B_1$$.

Многогранник $$ABCA_1B_1$$ - это пятигранник. Его объем можно найти, если из объема призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ вычесть объем пирамиды $$BCC_1B_1$$. Площадь основания призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ равна половине площади основания четырехугольной призмы, то есть $$6/2 = 3$$. Высота призмы равна боковому ребру, то есть 7. Следовательно, объем призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ равен $$3 \cdot 7 = 21$$. Теперь найдем объем пирамиды $$BCC_1B_1$$. Площадь основания пирамиды равна площади боковой грани четырехугольной призмы, которая равна $$a \cdot h = \sqrt{6} \cdot 7$$. Тогда объем пирамиды равен $$\frac{1}{3} \cdot \sqrt{6} \cdot 7 \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 7 = 14$$. Тогда объем многогранника $$ABCA_1B_1$$ равен $$V = 21 - \frac{1}{2} \cdot (S_{ABCD} \cdot h - V_{ABCA_1B_1C_1}) = V_{ABCA_1B_1C_1} - V_{CB_1C_1} = 21 - \frac{1}{3} 7 \cdot 3 = 21-7= 14 $$ Ответ: 14