4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = 90°), в которую вписана окружность радиусом 9 см. Сторон CD равна 24 см. Найди среднюю линию трапеции.

Пошаговое решение:

• Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: 2 * 9 = 18 см. Так как трапеция прямоугольная, боковая сторона AB также равна 18 см.
• Проведём высоту CH из вершины C на основание AD. Получим прямоугольный треугольник CHD, в котором CD = 24 см, CH = 18 см.
• По теореме Пифагора найдём HD: HD = \(\sqrt{CD^2 - CH^2} = \sqrt{24^2 - 18^2} = \sqrt{576 - 324} = \sqrt{252} = 6\sqrt{7}\) см.
• Так как в трапецию вписана окружность, суммы её противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.
• Запишем AD = BC + HD, тогда 18 + 24 = BC + BC + 6\(\sqrt{7}\), то есть 42 = 2BC + 6\(\sqrt{7}\). Отсюда BC = 21 - 3\(\sqrt{7}\) см.
• AD = BC + HD = 21 - 3\(\sqrt{7}\) + 6\(\sqrt{7}\) = 21 + 3\(\sqrt{7}\) см.
• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: (BC + AD) / 2 = (21 - 3\(\sqrt{7}\) + 21 + 3\(\sqrt{7}\)) / 2 = 42 / 2 = 21 см.

Ответ: 21 см.