7*. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности.

Решение: Пусть O - центр большей окружности, O1 - центр меньшей окружности. Пусть A - точка касания меньшей окружности и диаметра большей окружности, лежащая на диаметре большей окружности. OA = 5 см. Пусть R - радиус большей окружности (R = 10 см), r - радиус меньшей окружности. Тогда расстояние между центрами окружностей OO1 = R - r = 10 - r. Рассмотрим треугольник OO1A. Он прямоугольный (так как касание с диаметром). AO1 = r. Значит (10-r)^2= 5^2 + r^2. Решая, получаем 100 - 20r +r^2 = 25 + r^2; 20r = 75; r = 3.75 см Ответ: Радиус второй окружности равен 3.75 см.