4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (\(\angle A = 90^\circ\)), в которую вписана окружность радиусом 12 см. Сторона CD равна 38 см. Найди среднюю линию трапеции.

Решение: В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция описана около окружности, то \(AB + CD = AD + BC\). Высота трапеции \(AD = 2r = 2 \cdot 12 = 24\). Пусть \(BC = x\), тогда \(AB + 38 = 24 + x\). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований \(m = \frac{AB + CD}{2} = \frac{24 + x}{2}\). Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, проведенной из вершины C, и стороной CD, можно найти x. \(x = CD -AB\). \(m = \frac{AB+CD}{2}\). Пусть АВ =у, тогда CD = 38. Средняя линия m = (y + 38)/2. Т.к. трапеция описана около окружности, суммы противоположных сторон равны, т.е. y + 38 = 24 + BC. BC = y+14. Из прямоуг. треугольника: (y+14)^2 = 24^2 + (38-y)^2. Получается y = 10. m = (10 + 38)/2 = 24. Ответ: Средняя линия трапеции равна 24 см.