13. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Точка М лежит на основании AD и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что М — середина основания AD.

Доказательство:

• Дано: Равнобедренная трапеция ABCD, M лежит на AD, BM = CM.
• Доказать: M — середина AD.

1. Опустим высоты BE и CF на основание AD.
2. Треугольники ABE и DCF равны (прямоугольные, AB = CD, \(\angle A = \angle D\)). Значит, AE = DF.
3. Треугольники BEM и CFM равны (BM = CM, \(\angle BME = \angle CMF\), \(\angle BEM = \angle CFM = 90°\)). Значит, EM = MF.
4. AM = AE + EM и MD = DF - MF = AE + EM. Следовательно, AM = MD, и M — середина AD.