Дана равнобедренная трапеция с основаниями 5 см и 7 см, в которую вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Для равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, существует свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Также высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Дано:

• Меньшее основание (a) = 5 см
• Большее основание (b) = 7 см

1. Найдем высоту трапеции (h).

В равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру вписанной окружности. Но нам нужно найти высоту. Высота равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна среднему геометрическому оснований. Это неверное утверждение.

Для трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру вписанной окружности. Из условия, что окружность вписана, мы знаем, что сумма противоположных сторон равна, то есть a + b = c + d. Так как трапеция равнобедренная, c = d, поэтому a + b = 2c, откуда c = (a+b)/2. Это не используется для нахождения высоты.

Ключевое свойство: в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Для равнобедренной трапеции: \(a+b = 2c\).

Высота \(h\) равнобедренной трапеции связана с основаниями и боковой стороной. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком, равным разности полуразностей оснований: \( \frac{b-a}{2} \).

Отрезок, отсекаемый высотой на большем основании: \( \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) см.

Так как окружность вписана, то высота трапеции \(h\) равна диаметру вписанной окружности. Для того чтобы найти высоту, нам нужно знать боковую сторону.

В равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, высота \(h\) равна среднему геометрическому оснований, если это свойство применяется для нахождения высоты. Это не так. Высота равна среднему арифметическому оснований? Тоже нет.

Правило: Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то высота трапеции равна среднему геометрическому ее оснований. Это неверно. Высота равна диаметру вписанной окружности.

Однако, есть другое свойство: если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, и отрезок, который отсекает высота на большем основании (равный \( \frac{b-a}{2} \)), является катетом прямоугольного треугольника, где второй катет — высота \(h\), а гипотенуза — боковая сторона \(c\).

Сумма оснований = 5 + 7 = 12 см. Так как окружность вписана, сумма боковых сторон равна сумме оснований, т.е. 2c = 12, следовательно, боковая сторона c = 6 см.

Теперь найдем высоту (h), используя прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и \( \frac{b-a}{2} = 1 \) см, и гипотенузой \(c = 6 \) см.

• \[ h^2 + (\frac{b-a}{2})^2 = c^2 \]
• \[ h^2 + 1^2 = 6^2 \]
• \[ h^2 + 1 = 36 \]
• \[ h^2 = 35 \]
• \[ h = \sqrt{35} \] см.

2. Найдем площадь трапеции (S):

• \[ S = \frac{a + b}{2} \times h \]
• \[ S = \frac{5 + 7}{2} \times \sqrt{35} \]
• \[ S = \frac{12}{2} \times \sqrt{35} \]
• \[ S = 6 \times \sqrt{35} \] см².

Финальный ответ:

Ответ: $$6\sqrt{35}$$ см²