6. Дано: ACBD - ромб, AD = 8, DAC = 120°, CF 1 (ABC), CF = 4.

Выполним задание.

1. Т.к. ACBD - ромб, то все его стороны равны. Следовательно, AD = AC = CB = BD = 8.
2. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Следовательно, угол DAC = углу CAB = 120/2 = 60 градусов.
3. В ромбе противоположные углы равны. Следовательно, угол DCB = углу DAB = 120 градусов.
4. Треугольник ADC - равнобедренный, т.к. AD = AC. Следовательно, углы ADC и ACD равны.
5. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Следовательно, угол ADC = углу ACD = (180 - 120)/2 = 30 градусов.
6. Т.к. CF перпендикулярна плоскости ABC, то CF перпендикулярна AB.
7. Т.к. CF перпендикулярна плоскости ABC, то CF перпендикулярна CB.
8. Площадь треугольника ABC равна половине произведения сторон на синус угла между ними. $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \cdot sin(ACB) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot sin(60) = 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$$
9. Длина диагонали AB ромба может быть найдена по теореме косинусов: $$AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot cos(ACB) = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot cos(120) = 64 + 64 - 128 \cdot (-0,5) = 128 + 64 = 192$$, $$AB = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$$
10. Площадь треугольника ABF равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. $$S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$$
11. Расстояние от точки F до прямой AB - это длина отрезка FO, где FO перпендикулярна AB.
12. $$S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot FO$$
13. Выразим FO: $$FO = \frac{2S_{ABF}}{AB} = \frac{2 \cdot 16\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = 4$$

Ответ: 4