Дано: ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + 78°; ∠AOB − ∠BOC = 85°. Найти ∠AOF, ∠BOF, ∠DOE.

Обозначим ∠AOB = x°, ∠BOC = y°, ∠COD = z°. По рисунку лучи OA и OD, OB и OE, OC и OF — противоположные, поэтому x + y + z = 180°.

1. Из условия x + y = z + 78°, а из прямого угла развёрнутой линии z = 180° − (x + y). Следовательно, x + y = 180° − (x + y) + 78°, откуда x + y = 129°.
2. Решаем систему: x + y = 129°, x − y = 85°. Складывая уравнения, получаем 2x = 214°, то есть x = 107°. Тогда y = 22°.
3. z = 180° − 129° = 51°. Вертикальные углы равны, поэтому ∠AOF = ∠COD = 51° и ∠DOE = ∠AOB = 107°.
4. ∠BOF состоит из углов ∠BOC и ∠COF. Поскольку ∠COF = ∠AOB = 107°, получаем ∠BOF = 22° + 51°? Нет: лучи OB и OF разделены лучом OC, а вертикальный угол ∠COF равен ∠AOB = 107°. Значит, ∠BOF = 22° + 107° = 129°.

Ответ: ∠AOF = 51°, ∠BOF = 129°, ∠DOE = 107°.