10. Дано: ДАВС, AB = 25, AC = 20, CB=15, CF 1 (ABC), CF = 9.

Дано: ΔABC, AB = 25, AC = 20, CB = 15, CF ⊥ (ABC), CF = 9.

Найти: Расстояние от точки F до прямой AB.

1. Проверим, является ли треугольник ABC прямоугольным:

$$AC^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$$ $$AB^2 = 25^2 = 625$$

Так как AC^2 + BC^2 = AB^2, треугольник ABC прямоугольный (∠ACB = 90°).

2. Найдем площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150$$

3. Рассмотрим тетраэдр FABC. Его объем можно вычислить двумя способами:

Как 1/3 площади основания ABC на высоту CF:

$$V = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot CF = \frac{1}{3} \cdot 150 \cdot 9 = 450$$

Как 1/3 площади основания ABF на искомую высоту (расстояние от F до AB), обозначим ее h:

$$V = \frac{1}{3}S_{ABF} \cdot h$$

4. Найдем AF:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACF (CF ⊥ AC). По теореме Пифагора:

$$AF^2 = AC^2 + CF^2 = 20^2 + 9^2 = 400 + 81 = 481$$ $$AF = \sqrt{481}$$

5. Найдем BF:

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBF (CF ⊥ CB). По теореме Пифагора:

$$BF^2 = BC^2 + CF^2 = 15^2 + 9^2 = 225 + 81 = 306$$ $$BF = \sqrt{306}$$

6. Найдем площадь треугольника ABF, используя формулу Герона:

$$ p = \frac{AB + AF + BF}{2} = \frac{25 + \sqrt{481} + \sqrt{306}}{2} \approx \frac{25 + 21.93 + 17.49}{2} = \frac{64.42}{2} = 32.21$$ $$S_{ABF} = \sqrt{p(p-AB)(p-AF)(p-BF)}$$ $$S_{ABF} = \sqrt{32.21(32.21-25)(32.21-\sqrt{481})(32.21-\sqrt{306})}$$ $$S_{ABF} = \sqrt{32.21 \cdot 7.21 \cdot (32.21-21.93) \cdot (32.21 - 17.49)}$$ $$S_{ABF} = \sqrt{32.21 \cdot 7.21 \cdot 10.28 \cdot 14.72} = \sqrt{35494.7} = 188.4$$

7. Тогда из равенства объемов получим:

$$\frac{1}{3}S_{ABF} \cdot h = 450$$ $$\frac{1}{3} \cdot 188.4 \cdot h = 450$$ $$h = \frac{450 \cdot 3}{188.4} = \frac{1350}{188.4} = 7.16$$

Рассмотрим второй способ:

Найдем высоту CM в треугольнике ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CM$$ $$CM = \frac{2 S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot 150}{25} = \frac{300}{25} = 12$$

Рассмотрим треугольник FMC. Так как CF ⊥ (ABC), CF ⊥ CM, тогда FMC прямоугольный, и FM - искомое расстояние.

По теореме Пифагора:

$$FM^2 = CF^2 + CM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$ $$FM = \sqrt{225} = 15$$

Ответ: 15