2 вариант. Найдите расстояние от точки Г до прямой АВ. 2. Дано: ДАВС, ∠CAB = 90°, CB = 15, AB = 9, CF 1 (ABC), CF=5.

Для решения задачи необходимо найти расстояние от точки F до прямой AB. Поскольку CF перпендикулярна плоскости ABC, то треугольник CFA – прямоугольный. Расстояние от точки F до прямой AB можно найти, используя теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (∠CAB = 90°). По теореме Пифагора:

$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $$ $$ 15^2 = 9^2 + AC^2 $$ $$ 225 = 81 + AC^2 $$ $$ AC^2 = 225 - 81 = 144 $$ $$ AC = \sqrt{144} = 12 $$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CFA (CF ⊥ AC). По теореме Пифагора:

$$ FA^2 = AC^2 + CF^2 $$ $$ FA^2 = 12^2 + 5^2 $$ $$ FA^2 = 144 + 25 = 169 $$ $$ FA = \sqrt{169} = 13 $$

3. Объем тетраэдра FABC можно вычислить двумя способами:

Как 1/3 площади основания ABC на высоту CF:

$$ V = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot CF = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot CF = \frac{1}{6} \cdot 9 \cdot 12 \cdot 5 = 90 $$

Как 1/3 площади основания ABF на искомую высоту (расстояние от F до AB), обозначим ее h:

$$ V = \frac{1}{3}S_{ABF} \cdot h$$

4. Найдем BF:

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBF (CF ⊥ CB). По теореме Пифагора:

$$ BF^2 = BC^2 + CF^2 $$ $$ BF^2 = 15^2 + 5^2 = 225 + 25 = 250 $$ $$ BF = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} $$

5. Найдем площадь треугольника ABF, используя формулу Герона:

$$ p = \frac{AB + AF + BF}{2} = \frac{9 + 13 + 5\sqrt{10}}{2} = \frac{22 + 5\sqrt{10}}{2} = 11 + \frac{5\sqrt{10}}{2} $$ $$ S_{ABF} = \sqrt{p(p-AB)(p-AF)(p-BF)} $$ $$ S_{ABF} = \sqrt{(11 + \frac{5\sqrt{10}}{2})(11 + \frac{5\sqrt{10}}{2}-9)(11 + \frac{5\sqrt{10}}{2}-13)(11 + \frac{5\sqrt{10}}{2}-5\sqrt{10})} $$ $$ S_{ABF} = \sqrt{(11 + \frac{5\sqrt{10}}{2})(2 + \frac{5\sqrt{10}}{2})(-2 + \frac{5\sqrt{10}}{2})(11 - \frac{5\sqrt{10}}{2})} $$ $$ S_{ABF} = \sqrt{(121 - \frac{250}{4})(\frac{250}{4} - 4)} = \sqrt{(\frac{484-250}{4})(\frac{250-16}{4})} = \sqrt{\frac{234 \cdot 234}{16}} = \frac{234}{4} = \frac{117}{2} = 58.5 $$

6. Тогда из равенства объемов получим:

$$ \frac{1}{3}S_{ABF} \cdot h = 90 $$ $$ \frac{1}{3} \cdot 58.5 \cdot h = 90 $$ $$ h = \frac{90 \cdot 3}{58.5} = \frac{270}{58.5} = \frac{2700}{585} = \frac{600}{13} \approx 46.15 $$

Рассмотрим другой способ:

Площадь треугольника ABF можно найти как:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$$

Тогда

$$ 90 = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h) \cdot CF$$ $$90 = \frac{1}{6} \cdot 9 \cdot h \cdot 5$$ $$90 = \frac{45}{6}h$$ $$h = \frac{90 \cdot 6}{45} = 2 \cdot 6 = 12$$

7. Площадь треугольника ABF можно вычислить по формуле Герона:

Полупериметр

$$ p = \frac{9+13+5\sqrt{10}}{2}$$

Площадь

$$S = \sqrt{p(p-9)(p-13)(p-5\sqrt{10})}$$

Расстояние от точки F до прямой АВ = 5

Ответ: 5