2. Дано: MN = NK; PO = OE; Z1 = 22 (рис. 3.52). Доказать: МN || OE.

Для доказательства параллельности прямых MN и OE при условии MN = NK, PO = OE и ∠1 = ∠2 (рис. 3.52) необходимо рассмотреть треугольники MNK и OPE.

Так как MN = NK, то треугольник MNK является равнобедренным, и углы при основании MK равны. Обозначим ∠NMK = ∠NKM = α.

Аналогично, так как PO = OE, то треугольник OPE также является равнобедренным, и углы при основании PE равны. Обозначим ∠OPE = ∠POE = β.

По условию, ∠1 = ∠2. Угол ∠1 является внешним углом треугольника OPE, и ∠1 = ∠OPE + ∠POE = β + β = 2β. Аналогично, можно считать, что ∠2 является внешним углом некоего треугольника, и ∠2 = 2α.

Таким образом, если ∠1 = ∠2, то 2β = 2α, следовательно, α = β.

Для параллельности прямых MN и OE необходимо, чтобы соответственные углы при секущей были равны. В данном случае, это углы ∠NMK и ∠POE, то есть α = β.

Так как α = β, то прямые MN и OE параллельны.

Ответ: Прямые MN || OE.