1. Дано: PE||NK, MP = 8, MN = 12, МЕ = 6 (смотреть рисунок). Найти: а) МК; б) РЕ : NK; в) SMPE: SMNK.

а) Рассмотрим ΔМРЕ и ΔMNK. Так как PE||NK, то ΔМРЕ ~ ΔMNK (по двум углам: ∠M - общий, ∠MEP = ∠MKN как соответственные при параллельных прямых PE и NK и секущей MK). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, то есть:

$$\frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK}$$

Выразим MK:

$$MK = \frac{ME \cdot MN}{MP} = \frac{6 \cdot 12}{8} = 9$$

Ответ: MK = 9.

б) Так как ΔМРЕ ~ ΔMNK, то

$$\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

Ответ: PE : NK = 2 : 3.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = (\frac{PE}{NK})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: SMPE : SMNK = 4 : 9.