5. Расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции равны - 3см и 9 см, а сумма оснований - 24 см. Найдите основания трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, O - точка пересечения диагоналей. Из условия задачи следует, что высоты двух треугольников, образованных основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей, относятся как 3:9 = 1:3.

Рассмотрим подобные треугольники BOC и AOD (по двум углам: углы при основаниях равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущих AC и BD, углы BOC и AOD равны как вертикальные). Коэффициент подобия равен отношению высот: k=1:3.

Пусть BC=x, тогда AD=3x.

Из условия x+3x=24, 4x=24, x=6.

Тогда BC=6, AD=18.

Ответ: 6 см и 18 см.