Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построить угол между AC₁ и гранью BCC₁B₁. Чтобы построить угол, нужно определить три позиции: 1) грань BCC₁B₁; 2) прямую AC₁, которая не лежит в заданной грани; 3) отрезок, перпендикулярный грани BCC₁B₁. Из точки A опустим перпендикуляр на грань BCC₁B₁. Точка B — основание перпендикуляра. Строим угол между перпендикуляром и проекцией AC₁ на грань BCC₁B₁. Искомый угол φ = ∠AC₁B.

Проекция точки A на грань BCC₁B₁ — точка B, так как AB перпендикулярен этой грани. Проекция отрезка AC₁ на грань BCC₁B₁ — отрезок BC₁.

Следовательно, угол между прямой AC₁ и гранью BCC₁B₁ равен углу между AC₁ и её проекцией BC₁:

\(\varphi=\angle AC_1B\).

Ответ: \(\angle AC_1B\).