2. Дано: РЕ| NK, MP = 6, MN = 10, МЕ = 4 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) PE : NK; B) SMPE : SMNK

a) Рассмотрим подобные треугольники MPE и MNK. У них угол M - общий, а PE || NK, значит, углы MPE и MNK равны как соответственные при параллельных прямых PE и NK и секущей MN. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам.

В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны:$$\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}$$

Подставим известные значения: $$\frac{4}{MK} = \frac{6}{10}$$

Решим уравнение для MK: $$MK = \frac{4 \times 10}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$$

б) Найдем отношение PE к NK.

Из подобия треугольников MPE и MNK следует:$$\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK}$$

Подставим значения ME и MK: $$\frac{PE}{NK} = \frac{4}{\frac{20}{3}} = \frac{4 \times 3}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$

в) Найдем отношение площадей треугольников MPE и MNK.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$$\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = (\frac{PE}{NK})^2$$

Подставим найденное отношение $$\frac{PE}{NK} = \frac{3}{5}$$:$$\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$$

Ответ: а) $$\frac{20}{3}$$; б) $$\frac{3}{5}$$; в) $$\frac{9}{25}$$