5. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК || АС, ВМ : AM = 1:3. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 20 см.

Т.к. MK || AC, то треугольники BMK и BAC подобны по двум углам (∠B общий, ∠BMK = ∠BAC как соответственные при параллельных MK и AC и секущей AB).

Из условия BM : AM = 1 : 3, следовательно, BM : BA = 1 : (1 + 3) = 1 : 4.

Коэффициент подобия k = BM / BA = 1/4.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Пусть P_{BMK} - периметр треугольника BMK, P_{ABC} - периметр треугольника ABC.

Тогда P_{BMK} / P_{ABC} = k = 1/4.

P_{BMK} = P_{ABC} * k = 20 см * (1/4) = 5 см.

Ответ: 5 см