Решение:

1. Находим cosβ, используя связь между тангенсом и косинусом:

$$tg^2β + 1 = \frac{1}{cos^2β}$$

$$(\frac{7}{24})^2 + 1 = \frac{1}{cos^2β}$$

$$\frac{49}{576} + 1 = \frac{1}{cos^2β}$$

$$\frac{49 + 576}{576} = \frac{625}{576} = \frac{1}{cos^2β}$$

$$cos^2β = \frac{576}{625}$$

$$cosβ = ±\sqrt{\frac{576}{625}} = ±\frac{24}{25}$$

2. Определяем знак cosβ. Так как 180° < β < 270°, угол β находится в третьей четверти, где косинус отрицателен.

cosβ = -24/25

Ответ: cosβ = -24/25