315. Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание значений больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив дисперсии наборов. a) 2, 3, 4 и 6, 7, 8; б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.

Решение: a) 2, 3, 4, 6, 7, 8 1. Среднее арифметическое \(\bar{x}_a\): \(\bar{x}_a = \frac{2+3+4+6+7+8}{6} = \frac{30}{6} = 5\) 2. Дисперсия \(\sigma^2_a\): \(\sigma^2_a = \frac{(2-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2 + (8-5)^2}{6}\) \(\sigma^2_a = \frac{9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{28}{6} \approx 4.67\) b) 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18 1. Среднее арифметическое \(\bar{x}_b\): \(\bar{x}_b = \frac{3+5+7+9+12+14+16+18}{8} = \frac{84}{8} = 10.5\) 2. Дисперсия \(\sigma^2_b\): \(\sigma^2_b = \frac{(3-10.5)^2 + (5-10.5)^2 + (7-10.5)^2 + (9-10.5)^2 + (12-10.5)^2 + (14-10.5)^2 + (16-10.5)^2 + (18-10.5)^2}{8}\) \(\sigma^2_b = \frac{56.25 + 30.25 + 12.25 + 2.25 + 2.25 + 12.25 + 30.25 + 56.25}{8} = \frac{202}{8} = 25.25\) Сравнение: * Дисперсия набора a) \(\approx 4.67\) * Дисперсия набора б) \(= 25.25\) Дисперсия набора б) значительно больше, чем дисперсия набора а). Ответ: На глаз можно было предположить, что рассеивание значений больше во втором наборе (б), так как числа сильнее отличаются друг от друга. Вычисления подтвердили, что дисперсия набора б) больше дисперсии набора а). Дисперсия набора а) примерно равна 4.67, а дисперсия набора б) равна 25.25. Это означает, что значения во втором наборе более разбросаны относительно среднего значения.