317. В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — 8,5 см². Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см². Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию — до сотых.

Решение: 1. **Средний рост всех учеников:** * Поскольку юношей и девушек поровну, средний рост будет средним арифметическим их средних ростов: \(\bar{x}_{общий} = \frac{166.3 + 177.6}{2} = \frac{343.9}{2} = 171.95 \approx 172.0\) см (округляем до десятых). 2. **Дисперсия для всего класса:** * Используем формулу для дисперсии смеси двух групп: \(\sigma^2_{общий} = \frac{n_1 \cdot (\sigma^2_1 + (\bar{x}_1 - \bar{x}_{общий})^2) + n_2 \cdot (\sigma^2_2 + (\bar{x}_2 - \bar{x}_{общий})^2)}{n_1 + n_2}\) Где: * \(n_1 = n_2\) (количество девушек и юношей одинаково) * \(\sigma^2_1 = 8.5\) (дисперсия девушек) * \(\sigma^2_2 = 9.6\) (дисперсия юношей) * \(\bar{x}_1 = 166.3\) (средний рост девушек) * \(\bar{x}_2 = 177.6\) (средний рост юношей) * \(\bar{x}_{общий} = 171.95\) (средний рост всех учеников) * Подставляем значения: \(\sigma^2_{общий} = \frac{8.5 + (166.3 - 171.95)^2 + 9.6 + (177.6 - 171.95)^2}{2}\) \(\sigma^2_{общий} = \frac{8.5 + (-5.65)^2 + 9.6 + (5.65)^2}{2}\) \(\sigma^2_{общий} = \frac{8.5 + 31.9225 + 9.6 + 31.9225}{2}\) \(\sigma^2_{общий} = \frac{81.945}{2} = 40.9725 \approx 40.97\) см² (округляем до сотых). Ответ: * Средний рост всех учеников: 172.0 см. * Дисперсия роста всех учеников: 40.97 см². Развёрнутый ответ для школьника: Для нахождения среднего роста всех учеников, так как количество юношей и девушек одинаково, достаточно найти среднее арифметическое среднего роста юношей и девушек. Чтобы найти дисперсию роста всех учеников, необходимо учесть как дисперсию внутри каждой группы (отдельно для юношей и девушек), так и различие между средними ростами этих групп. Мы использовали специальную формулу, которая учитывает эти факторы. В итоге получили, что средний рост всех учеников равен 172.0 см, а дисперсия равна 40.97 см².