4. Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р. Две прямые, проходящие через точку Р, пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках А1 и А2, а дальнюю — в точках В1 и В2 соответственно. Найдите длину отрезка А1А2, если В1В2 = 15 см и PA₁ : A₁B₁= 3:2.

Даны две параллельные плоскости и точка P вне их. Прямые через P пересекают плоскости в точках A₁, A₂ и B₁, B₂ соответственно.

1. Подобие треугольников: Треугольники $$PA_1A_2$$ и $$PB_1B_2$$ подобны, так как плоскости параллельны, следовательно, прямые $$A_1A_2$$ и $$B_1B_2$$ параллельны.
2. Отношение сторон: Из подобия треугольников следует: $$\frac{PA_1}{PB_1} = \frac{A_1A_2}{B_1B_2}$$.
3. Выражение для PB₁: $$PB_1 = PA_1 + A_1B_1$$. Дано, что $$\frac{PA_1}{A_1B_1} = \frac{3}{2}$$, следовательно, $$A_1B_1 = \frac{2}{3}PA_1$$. Тогда, $$PB_1 = PA_1 + \frac{2}{3}PA_1 = \frac{5}{3}PA_1$$.
4. Подстановка в отношение: $$\frac{PA_1}{PB_1} = \frac{PA_1}{\frac{5}{3}PA_1} = \frac{3}{5}$$.
5. Нахождение A₁A₂: $$\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{3}{5}$$. Дано, что $$B_1B_2 = 15 \text{ см}$$, следовательно, $$A_1A_2 = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9 \text{ см}$$.

Ответ: Длина отрезка A₁A₂ равна 9 см.