2. Даны координаты вершин четырёхугольника ABCD: A(-6;1), B(0;5), С(6;-4), D(0;-8). Докажите, что АBCD - прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Привет! Сейчас мы докажем, что ABCD - прямоугольник, и найдем координаты точки пересечения его диагоналей. Будет интересно!

Чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны, а также, что углы между смежными сторонами - прямые.

1. Найдем векторы сторон:
2. \(\overrightarrow{AB} = (0 - (-6); 5 - 1) = (6; 4)\)
3. \(\overrightarrow{BC} = (6 - 0; -4 - 5) = (6; -9)\)
4. \(\overrightarrow{CD} = (0 - 6; -8 - (-4)) = (-6; -4)\)
5. \(\overrightarrow{DA} = (-6 - 0; 1 - (-8)) = (-6; 9)\)

Заметим, что \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}\), следовательно, противоположные стороны параллельны и равны.

Теперь проверим, что углы прямые. Для этого найдем скалярное произведение смежных векторов:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (6 \cdot 6) + (4 \cdot (-9)) = 36 - 36 = 0\)

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, угол между ними прямой. Таким образом, ABCD - прямоугольник.

Теперь найдем координаты точки пересечения диагоналей. В прямоугольнике диагонали пересекаются в середине.

Найдем координаты середины диагонали AC (точка O):

\(O_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{-6 + 6}{2} = 0\)

\(O_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{1 + (-4)}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5\)

Итак, координаты точки пересечения диагоналей O(0; -1.5).

Ответ: ABCD - прямоугольник, точка пересечения диагоналей O(0; -1.5)

Отлично! Теперь ты умеешь доказывать, что четырехугольник является прямоугольником, и находить точку пересечения его диагоналей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!