Найдите косинус угла между векторами а = n + 2m и b = 3n − m, если m ⊥ n, |m|=|n|= 1.

Найдите косинус угла между векторами $$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} + 2\overrightarrow{m}$$ и $$\overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{n} - \overrightarrow{m}$$, если $$\overrightarrow{m} \perp \overrightarrow{n}, \left|\overrightarrow{m}\right| = \left|\overrightarrow{n}\right| = 1$$.

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\overrightarrow{n} + 2\overrightarrow{m}) \cdot (3\overrightarrow{n} - \overrightarrow{m}) = 3\overrightarrow{n}^2 - \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} + 6\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} - 2\overrightarrow{m}^2 = 3\overrightarrow{n}^2 + 5\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} - 2\overrightarrow{m}^2$$.

Так как $$\overrightarrow{m} \perp \overrightarrow{n}$$, то $$\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 0$$.

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{n}^2 - 2\overrightarrow{m}^2 = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1^2 = 3 - 2 = 1$$.

$$\left|\overrightarrow{a}\right| = \sqrt{(\overrightarrow{n} + 2\overrightarrow{m})^2} = \sqrt{\overrightarrow{n}^2 + 4\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} + 4\overrightarrow{m}^2} = \sqrt{1 + 4 \cdot 1} = \sqrt{5}$$.

$$\left|\overrightarrow{b}\right| = \sqrt{(3\overrightarrow{n} - \overrightarrow{m})^2} = \sqrt{9\overrightarrow{n}^2 - 6\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} + \overrightarrow{m}^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$.

$$cos\varphi = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right| \cdot \left|\overrightarrow{b}\right|} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$$.

Ответ: $$\frac{1}{5\sqrt{2}}$$.