1. Даны точки А (-3; 1), В (1; -2) и С(-1; 0). Найдите: а) координаты векторов АВ и АС; б) модули векторов АВ и АС; ← в) координаты вектора МК = 2АВ - ЗАС; г) скалярное произведение векторов АВ и АС; д) косинус угла между векторами АВ и АС.

Решение:

а) Найдем координаты векторов $$ \vec{AB} $$ и $$ \vec{AC} $$.

Координаты вектора находятся вычитанием соответствующих координат начала из координат конца вектора.

1. $$ \vec{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3) $$
2. $$ \vec{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1) $$

б) Найдем модули векторов $$ \vec{AB} $$ и $$ \vec{AC} $$.

Модуль вектора (длина) находится по формуле: $$ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$, где $$ x $$ и $$ y $$ - координаты вектора.

1. $$ |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$
2. $$ |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $$

в) Найдем координаты вектора $$ \vec{MK} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC} $$.

1. $$ 2\vec{AB} = 2(4; -3) = (8; -6) $$
2. $$ 3\vec{AC} = 3(2; -1) = (6; -3) $$
3. $$ \vec{MK} = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3) $$

г) Найдем скалярное произведение векторов $$ \vec{AB} $$ и $$ \vec{AC} $$.

Скалярное произведение находится по формуле: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 $$, где $$ (x_1; y_1) $$ и $$ (x_2; y_2) $$ - координаты векторов.

$$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11 $$

д) Найдем косинус угла между векторами $$ \vec{AB} $$ и $$ \vec{AC} $$.

Косинус угла между векторами находится по формуле: $$ cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $$, где $$ \vec{a} \cdot \vec{b} $$ - скалярное произведение векторов, $$ |\vec{a}| $$ и $$ |\vec{b}| $$ - модули векторов.

$$ cos(\alpha) = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25} $$

Ответ:

1. $$ \vec{AB} = (4; -3), \vec{AC} = (2; -1) $$
2. $$ |\vec{AB}| = 5, |\vec{AC}| = \sqrt{5} $$
3. $$ \vec{MK} = (2; -3) $$
4. $$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 11 $$
5. $$ cos(\alpha) = \frac{11\sqrt{5}}{25} $$