4. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки М и Р так, что ВМ:MC = 2:5, CP:PD = 3:1. Выразите вектор МР через векторы АВ = ả и AD = Б.

Решение:

Нам дано: $$ \vec{AB} = \vec{a} $$, $$ \vec{AD} = \vec{b} $$, $$ BM:MC = 2:5 $$, $$ CP:PD = 3:1 $$.

Выразим вектор $$ \vec{MP} $$ через векторы $$ \vec{a} $$ и $$ \vec{b} $$.

Воспользуемся тем, что $$ \vec{MP} = \vec{MC} + \vec{CP} $$.

Выразим $$ \vec{MC} $$ через $$ \vec{BC} $$. Так как $$ BM:MC = 2:5 $$, то $$ MC = \frac{5}{7}BC $$. Значит, $$ \vec{MC} = \frac{5}{7}\vec{BC} = \frac{5}{7}\vec{AD} = \frac{5}{7}\vec{b} $$.

Выразим $$ \vec{CP} $$ через $$ \vec{CD} $$. Так как $$ CP:PD = 3:1 $$, то $$ CP = \frac{3}{4}CD $$. Значит, $$ \vec{CP} = \frac{3}{4}\vec{CD} = \frac{3}{4}(-\vec{AB}) = -\frac{3}{4}\vec{a} $$.

Тогда $$ \vec{MP} = \vec{MC} + \vec{CP} = \frac{5}{7}\vec{b} - \frac{3}{4}\vec{a} $$.

Ответ: $$ \vec{MP} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{b} $$.