5. Найдите косинус угла между векторами а = 4m – р и b = m + 2р, если тар и |m| = |p| = 1.

Решение:

Нам дано: $$ \vec{a} = 4\vec{m} - \vec{p} $$, $$ \vec{b} = \vec{m} + 2\vec{p} $$, $$ \vec{m} \perp \vec{p} $$, $$ |\vec{m}| = |\vec{p}| = 1 $$.

Найдем косинус угла между векторами $$ \vec{a} $$ и $$ \vec{b} $$.

Косинус угла между векторами находится по формуле: $$ cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $$.

Найдем скалярное произведение векторов $$ \vec{a} $$ и $$ \vec{b} $$.

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (4\vec{m} - \vec{p}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{p}) = 4\vec{m}^2 + 8\vec{m}\vec{p} - \vec{m}\vec{p} - 2\vec{p}^2 = 4|\vec{m}|^2 + 7\vec{m}\vec{p} - 2|\vec{p}|^2 $$.

Так как $$ \vec{m} \perp \vec{p} $$, то $$ \vec{m}\vec{p} = 0 $$. Также нам дано, что $$ |\vec{m}| = |\vec{p}| = 1 $$.

Тогда $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1^2 + 7 \cdot 0 - 2 \cdot 1^2 = 4 - 2 = 2 $$.

Найдем модули векторов $$ \vec{a} $$ и $$ \vec{b} $$.

$$ |\vec{a}| = \sqrt{(4\vec{m} - \vec{p})^2} = \sqrt{16|\vec{m}|^2 - 8\vec{m}\vec{p} + |\vec{p}|^2} = \sqrt{16 \cdot 1^2 - 8 \cdot 0 + 1^2} = \sqrt{17} $$.

$$ |\vec{b}| = \sqrt{(\vec{m} + 2\vec{p})^2} = \sqrt{|\vec{m}|^2 + 4\vec{m}\vec{p} + 4|\vec{p}|^2} = \sqrt{1^2 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1^2} = \sqrt{5} $$.

Тогда $$ cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}} = \frac{2\sqrt{85}}{85} $$.

Ответ: $$ cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{85}}{85} $$.