1. Даны точки А (4;4;0), B(0;0;0), C(0;3;4) и D (1;4;4). Докажите, что АВCD- равнобедренная трапеция.

Чтобы доказать, что ABCD - равнобедренная трапеция, нужно показать, что:

1. Две стороны параллельны (например, AB || CD)
2. Две другие стороны не параллельны (например, BC и AD не параллельны)
3. Боковые стороны равны по длине (BC = AD)

1. Найдем векторы AB и CD:

$$AB = (0 - 4; 0 - 4; 0 - 0) = (-4; -4; 0)$$ $$CD = (1 - 0; 4 - 3; 4 - 4) = (1; 1; 0)$$

Векторы AB и CD коллинеарны (параллельны), так как их координаты пропорциональны: $$\frac{-4}{1} = \frac{-4}{1} = \frac{0}{0}$$, что означает, что AB || CD.

2. Найдем векторы BC и AD:

$$BC = (0 - 0; 3 - 0; 4 - 0) = (0; 3; 4)$$ $$AD = (1 - 4; 4 - 4; 4 - 0) = (-3; 0; 4)$$

Векторы BC и AD не коллинеарны, так как $$\frac{0}{-3}
eq \frac{3}{0}
eq \frac{4}{4}$$, что означает, что BC и AD не параллельны.

3. Найдем длины векторов BC и AD:

$$|BC| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$|AD| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Так как |BC| = |AD| = 5, боковые стороны равны.

Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция.

Ответ: Доказано, что ABCD - равнобедренная трапеция.