3. Даны точки М(3;-2; 2), N(2;-1;0), К(-1;-5;4) и Р(0;-4;4). Найти угол между векторами МП И КР.

1. Шаг 1: Находим вектор MN
   • Координаты вектора MN вычисляются как разность координат точки N и точки M: \[ \overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M) \]
   • Подставляем координаты точек M(3;-2;2) и N(2;-1;0): \[ \overrightarrow{MN} = (2 - 3, -1 - (-2), 0 - 2) \]
   • Вычисляем координаты вектора MN: \[ \overrightarrow{MN} = (-1, 1, -2) \]
2. Шаг 2: Находим вектор KP
   • Координаты вектора KP вычисляются как разность координат точки P и точки K: \[ \overrightarrow{KP} = (x_P - x_K, y_P - y_K, z_P - z_K) \]
   • Подставляем координаты точек K(-1;-5;4) и P(0;-4;4): \[ \overrightarrow{KP} = (0 - (-1), -4 - (-5), 4 - 4) \]
   • Вычисляем координаты вектора KP: \[ \overrightarrow{KP} = (1, 1, 0) \]
3. Шаг 3: Находим косинус угла между векторами MN и KP
   • Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \[ cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{KP}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{KP}|} \]
   • Находим скалярное произведение векторов MN и KP: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{KP} = (-1)(1) + (1)(1) + (-2)(0) = -1 + 1 + 0 = 0 \]
   • Находим длины векторов MN и KP:
   • \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \]
   • \[ |\overrightarrow{KP}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \]
   • Подставляем значения в формулу косинуса: \[ cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = 0 \]
4. Шаг 4: Находим угол θ
   • Если косинус угла равен 0, то угол равен 90 градусов: \[ \theta = arccos(0) = 90^{\circ} \]

Ответ: Угол между векторами MN и KP равен 90 градусов.