2. Даны три вершины А(1;-2;3), B(2;3;-5), D(-4;5;1 параллелограмма ABCD. Найти координаты его четвертой вершины С.

1. Шаг 1: Находим координаты середины диагонали BD
   • Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма координат концов отрезка.
   • Для середины O диагонали BD: \[ O = (\frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2}) \]
   • Подставляем координаты точек B(2;3;-5) и D(-4;5;1): \[ O = (\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{3 + 5}{2}, \frac{-5 + 1}{2}) \]
   • Вычисляем координаты точки O: \[ O = (\frac{-2}{2}, \frac{8}{2}, \frac{-4}{2}) = (-1, 4, -2) \]
2. Шаг 2: Находим координаты вершины C
   • Пусть координаты точки C будут (x, y, z). Тогда середина диагонали AC должна совпадать с точкой O(-1, 4, -2).
   • Координаты середины диагонали AC: \[ O = (\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2}) \]
   • Подставляем координаты точек A(1;-2;3) и O(-1;4;-2): \[ (-1, 4, -2) = (\frac{1 + x}{2}, \frac{-2 + y}{2}, \frac{3 + z}{2}) \]
   • Решаем уравнения для каждой координаты:
   • \[ -1 = \frac{1 + x}{2} \] => \[ -2 = 1 + x \] => \[ x = -3 \]
   • \[ 4 = \frac{-2 + y}{2} \] => \[ 8 = -2 + y \] => \[ y = 10 \]
   • \[ -2 = \frac{3 + z}{2} \] => \[ -4 = 3 + z \] => \[ z = -7 \]
   • Получаем координаты точки C: \[ C = (-3, 10, -7) \]

Ответ: Координаты четвертой вершины C(-3; 10; -7)