4. При каком значении п векторы АВ и СД будут перпендикулярны, если A (1;0;1) B (-2;3;0) C (4; 6; п) Д (п; 6;- 8).

1. Шаг 1: Находим вектор AB
   • Координаты вектора AB вычисляются как разность координат точки B и точки A: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \]
   • Подставляем координаты точек A(1;0;1) и B(-2;3;0): \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 1, 3 - 0, 0 - 1) \]
   • Вычисляем координаты вектора AB: \[ \overrightarrow{AB} = (-3, 3, -1) \]
2. Шаг 2: Находим вектор CD
   • Координаты вектора CD вычисляются как разность координат точки D и точки C: \[ \overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) \]
   • Подставляем координаты точек C(4;6;n) и D(n;6;-8): \[ \overrightarrow{CD} = (n - 4, 6 - 6, -8 - n) \]
   • Вычисляем координаты вектора CD: \[ \overrightarrow{CD} = (n - 4, 0, -8 - n) \]
3. Шаг 3: Находим скалярное произведение векторов AB и CD
   • Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (x_{AB})(x_{CD}) + (y_{AB})(y_{CD}) + (z_{AB})(z_{CD}) \]
   • Подставляем координаты векторов AB(-3;3;-1) и CD(n-4;0;-8-n): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-3)(n - 4) + (3)(0) + (-1)(-8 - n) \]
   • Упрощаем выражение: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -3n + 12 + 0 + 8 + n = -2n + 20 \]
4. Шаг 4: Приравниваем скалярное произведение к нулю и решаем уравнение
   • Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ -2n + 20 = 0 \]
   • Решаем уравнение: \[ -2n = -20 \] => \[ n = 10 \]

Ответ: n = 10