4. Даны вершины треугольника А (9;3;-5), В (2;10;-5),C(2;3;2).Найдите его площадь.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, воспользуемся формулой:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \]

Сначала найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\[ \vec{AB} = (2 - 9, 10 - 3, -5 - (-5)) = (-7, 7, 0) \]

\[ \vec{AC} = (2 - 9, 3 - 3, 2 - (-5)) = (-7, 0, 7) \]

Теперь найдем векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -7 & 7 & 0 \\ -7 & 0 & 7 \end{vmatrix} \]

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \hat{i}(7 \cdot 7 - 0 \cdot 0) - \hat{j}(-7 \cdot 7 - 0 \cdot (-7)) + \hat{k}(-7 \cdot 0 - 7 \cdot (-7)) \]

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = 49\hat{i} + 49\hat{j} + 49\hat{k} \]

Таким образом, \(\vec{AB} \times \vec{AC} = (49, 49, 49)\).

Найдем модуль векторного произведения:

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{49^2 + 49^2 + 49^2} = \sqrt{3 \cdot 49^2} = 49\sqrt{3} \]

Теперь найдем площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 49\sqrt{3} = \frac{49\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна \[ \frac{49\sqrt{3}}{2} \].

Проверка за 10 секунд: Нашли векторы, векторное произведение и подставили в формулу площади треугольника.

Доп. профит: Векторное произведение используется для нахождения нормали к плоскости.