1. Найти расстояние от точки А (10;20;-15) до плоскости 8х+6y-4z+15=0

Расстояние d от точки A(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

В нашем случае, A(10, 20, -15) и плоскость 8x + 6y - 4z + 15 = 0, следовательно, A = 8, B = 6, C = -4, D = 15, x₀ = 10, y₀ = 20, z₀ = -15.

Подставляем значения в формулу:

\[ d = \frac{|8(10) + 6(20) - 4(-15) + 15|}{\sqrt{8^2 + 6^2 + (-4)^2}} \]

\[ d = \frac{|80 + 120 + 60 + 15|}{\sqrt{64 + 36 + 16}} \]

\[ d = \frac{|275|}{\sqrt{116}} \]

\[ d = \frac{275}{\sqrt{116}} \]

Упрощаем знаменатель: \[ \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29} \]

\[ d = \frac{275}{2\sqrt{29}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \[ \sqrt{29} \]:

\[ d = \frac{275\sqrt{29}}{2 \cdot 29} \]

\[ d = \frac{275\sqrt{29}}{58} \]

Ответ: \[ d = \frac{275\sqrt{29}}{58} \]

Проверка за 10 секунд: Подставили координаты точки и коэффициенты плоскости в формулу, упростили и получили ответ.

Доп. профит: Эта формула часто используется в задачах на оптимизацию в трехмерном пространстве.