5. В единичном кубе А В С D А1 В1 С1 D₁ найдите расстояние от точки В до плоскости (D A1 C₁)

Введем систему координат так, чтобы вершина A совпадала с началом координат (0,0,0), и ребра куба шли вдоль осей x, y, z. Тогда координаты вершин куба будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A₁(0, 0, 1)
• B₁(1, 0, 1)
• C₁(1, 1, 1)
• D₁(0, 1, 1)

Нам нужно найти расстояние от точки B(1, 0, 0) до плоскости (D₁A₁C₁). Найдем уравнение этой плоскости.

Координаты точек, лежащих в плоскости (D₁A₁C₁):

• D(0, 1, 0)
• A₁(0, 0, 1)
• C₁(1, 1, 1)

Векторы, лежащие в этой плоскости:

\[ \vec{D_1A_1} = (0 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1) \]

\[ \vec{D_1C_1} = (1 - 0, 1 - 1, 1 - 0) = (1, 0, 1) \]

Вектор нормали к плоскости \(\vec{n}\) будет векторным произведением этих векторов:

\[ \vec{n} = \vec{D_1A_1} \times \vec{D_1C_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ \vec{n} = \hat{i}(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \hat{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \hat{k}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) \]

\[ \vec{n} = -1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k} \]

Таким образом, \(\vec{n} = (-1, 1, 1)\).

Уравнение плоскости имеет вид -x + y + z + D = 0. Подставим координаты точки D(0, 1, 0) для нахождения D:

\[ -0 + 1 + 0 + D = 0 \]

\[ D = -1 \]

Уравнение плоскости: -x + y + z - 1 = 0, или x - y - z + 1 = 0.

Расстояние от точки B(1, 0, 0) до плоскости x - y - z + 1 = 0:

\[ d = \frac{|1 - 0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} \]

\[ d = \frac{|2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[ d = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Ответ: Расстояние от точки B до плоскости (D₁A₁C₁) равно \[ \frac{2\sqrt{3}}{3} \].

Проверка за 10 секунд: Ввели систему координат, нашли уравнение плоскости и применили формулу расстояния от точки до плоскости.

Доп. профит: Метод координат позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами.