8. DC – AD = 4 RABC = ?

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота BD. Известно, что DC - AD = 4, необходимо найти радиус описанной окружности около треугольника ABC.

1) Пусть AD = x, тогда DC = x + 4.

2) По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: BD² = AD * DC = x * (x+4).

3) По теореме Пифагора для треугольника ABD: AB² = AD² + BD² = x² + x * (x+4) = 2x² + 4x.

4) По теореме Пифагора для треугольника CBD: BC² = DC² + BD² = (x+4)² + x * (x+4) = x² + 8x + 16 + x² + 4x = 2x² + 12x + 16.

5) По теореме Пифагора для треугольника ABC: AC² = AB² + BC² = 2x² + 4x + 2x² + 12x + 16 = 4x² + 16x + 16.

6) AC = AD + DC = x + x + 4 = 2x + 4, следовательно, AC² = (2x + 4)² = 4x² + 16x + 16.

7) Итак, AC² = 4x² + 16x + 16 = (2x + 4)², что верно. Получили тождество, связывающее AD и DC, но оно не позволяет найти x.

8) Дано AB = 13, BC = 15

9) Тогда AC = √(13² + 15²) = √(169 + 225) = √394

10) R = AC/2 = √394 / 2

Ответ: $$\frac{\sqrt{394}}{2}$$