9. S = 30√3 R = ?

Площадь треугольника равна 30√3. Угол С равен 60 градусов. Сторона CB равна 15.

1) Выразим площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$$, где a и b - стороны треугольника, \( \gamma \) - угол между ними.

Подставим известные значения:

$$30\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 15 \cdot \sin(60^\circ)$$,

$$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$,

$$30\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$,

$$30\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot AC$$,

$$AC = \frac{30\sqrt{3} \cdot 4}{15\sqrt{3}} = \frac{30 \cdot 4}{15} = 8$$.

2) Теперь воспользуемся теоремой синусов, чтобы найти радиус описанной окружности:

$$\frac{AB}{\sin(C)} = 2R$$,

$$R = \frac{AB}{2 \sin(C)}$$.

Чтобы найти сторону AB, воспользуемся теоремой косинусов:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(C)$$,

$$AB^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)$$,

$$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$$,

$$AB^2 = 64 + 225 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 64 + 225 - 8 \cdot 15 = 289 - 120 = 169$$,

$$AB = \sqrt{169} = 13$$.

Тогда радиус описанной окружности:

$$R = \frac{13}{2 \sin(60^\circ)} = \frac{13}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{13}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: $$\frac{13\sqrt{3}}{3}$$