5. Делится ли 361⁸-129⁸ на 1167

Проверим, делится ли $$361^8 - 129^8$$ на 1167.

Заметим, что $$361 = 19^2$$ и $$129 = 3 \cdot 43$$.

Разложим выражение $$361^8 - 129^8$$ как разность квадратов: $$(361^4)^2 - (129^4)^2 = (361^4 - 129^4)(361^4 + 129^4)$$.

Разложим выражение $$(361^4 - 129^4)$$ как разность квадратов: $$(361^2 - 129^2)(361^2 + 129^2)$$.

Разложим выражение $$(361^2 - 129^2)$$ как разность квадратов: $$(361 - 129)(361 + 129) = (232)(490)$$.

Таким образом, $$361^8 - 129^8 = (232)(490)(361^2 + 129^2)(361^4 + 129^4)$$.

Разложим число 1167 на множители. $$1167 = 3 \cdot 389$$.

Проверим, делится ли один из множителей $$361^8 - 129^8$$ на 3 или 389.

$$232 = 2 \cdot 116$$ не делится на 3.

$$490 = 10 \cdot 49$$ не делится на 3.

$$361^2 + 129^2 = 130322$$ не делится на 3.

$$361^4 + 129^4 = 1697459362$$ не делится на 3.

Проверим, делится ли один из множителей $$361^8 - 129^8$$ на 389.

$$232$$ не делится на 389.

$$490$$ не делится на 389.

$$361^2 + 129^2 = 130322 = 389*335+17$$ не делится на 389.

$$361^4 + 129^4 = 1697459362 = 389*4363648+350$$ не делится на 389.

Выражение $$361^8 - 129^8 = (232)(490)(361^2 + 129^2)(361^4 + 129^4)$$. не делится на 1167.

Разложим число 232 на множители: $$232=2^3 \cdot 29$$.

Разложим число 490 на множители: $$490 = 2 \cdot 5 \cdot 7^2$$.

Ответ: нет, не делится.