4. Упростите выражение 125x⁸-1 25x² +5x+1 и найдите его значе ние при х=111.

Упростим выражение $$\frac{125x^8 - 1}{25x^4 + 5x^2 + 1}$$.

Заметим, что числитель можно представить как разность кубов: $$125x^6 - 1 = (5x^2)^3 - 1^3$$.

Разложим разность кубов: $$(5x^2)^3 - 1^3 = (5x^2 - 1)((5x^2)^2 + 5x^2 + 1) = (5x^2 - 1)(25x^4 + 5x^2 + 1)$$.

Тогда исходное выражение можно упростить: $$\frac{125x^6 - 1}{25x^4 + 5x^2 + 1} = \frac{(5x^2 - 1)(25x^4 + 5x^2 + 1)}{25x^4 + 5x^2 + 1} = 5x^2 - 1$$.

Найдем значение упрощенного выражения при $$x = 111$$:

$$5x^2 - 1 = 5(111)^2 - 1 = 5(12321) - 1 = 61605 - 1 = 61604$$.

В условии задания имеется ошибка. Числитель дроби должен быть $$125x^6-1$$.

Ответ: $$5x^2-1=61604$$.